Школьника попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 25 одинаковых монет, рычажные весы и набор гирек. Оказалось, что самая лёгкая гирька в наборе имела массу 10 г, а монета была ещё легче. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить две монеты, то они перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 120 г, но тяжелее, чем гири массой 110 г. А если положить 25 монет, то они тяжелее 180 г, но легче 190 г. 1) Определите границы величины массы одной монеты по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ округлите до десятых. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения массы одной монеты будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу монетки с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно. Ответ округлите до сотых. Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

1) Определим границы массы одной монеты по результатам каждого из трёх экспериментов:

Первый эксперимент: две монеты перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г.

$$10 < 2m < 20$$

$$5 < m < 10$$

Масса одной монеты находится в интервале от 5 г до 10 г.

Второй эксперимент: 15 монет легче, чем гири массой 120 г, но тяжелее, чем гири массой 110 г.

$$110 < 15m < 120$$

$$\frac{110}{15} < m < \frac{120}{15}$$

$$7.33 < m < 8$$

Масса одной монеты находится в интервале от 7,3 г до 8 г.

Третий эксперимент: 25 монет тяжелее 180 г, но легче 190 г.

$$180 < 25m < 190$$

$$\frac{180}{25} < m < \frac{190}{25}$$

$$7.2 < m < 7.6$$

Масса одной монеты находится в интервале от 7,2 г до 7,6 г.

2) Оценим точность определения массы монеты в каждом эксперименте:

Первый эксперимент: разница между верхней и нижней границей составляет 10 - 5 = 5 г.

Второй эксперимент: разница между верхней и нижней границей составляет 8 - 7,33 = 0,67 г.

Третий эксперимент: разница между верхней и нижней границей составляет 7,6 - 7,2 = 0,4 г.

Наиболее точным является третий эксперимент, так как в нём наименьший интервал массы монеты.

3) Найдем объём одной монеты и оценим его погрешность, используя результаты третьего эксперимента:

Средняя масса монеты:

$$m = \frac{7.2 + 7.6}{2} = 7.4 \text{ г}$$

Объём монеты:

$$V = \frac{m}{\rho} = \frac{7.4 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см}^3} \approx 1.09 \text{ см}^3$$

Погрешность массы:

$$\Delta m = \frac{7.6 - 7.2}{2} = 0.2 \text{ г}$$

Погрешность объёма:

$$\Delta V = \frac{\Delta m}{\rho} = \frac{0.2 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см}^3} \approx 0.03 \text{ см}^3$$

Окончательный результат:

$$V = (1.09 \pm 0.03) \text{ см}^3$$

Ответ: 1) 5 < m < 10; 7.3 < m < 8; 7.2 < m < 7.6; 2) третий; 3) (1.09 ± 0.03) см³