Школьника попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 35 одинаковых монет, рычажные весы и набор гирек. Проблема оказалась в том, что самая лёгкая гирька в наборе имела массу 10 г, а монеты были достаточно лёгкими. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить 4 монеты, то они перевешивают гирю массой 20 г, но легче, чем гиря массой 30 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 100 г, но тяжелее, чем гири массой 90 г. А если положить 35 монет, то они тяжелее 220 г, но легче 230 г. 1) По результатам каждого измерения определите массу монетки и оцените погрешность определения массы монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения массы монеты будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу монетки с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно. Напишите полное решение этой задачи.

Решение задачи:

Давай разберем каждый эксперимент по порядку.

Эксперимент 1: 4 монеты против гирь 20 г и 30 г

Мы знаем, что 4 монеты тяжелее 20 г, но легче 30 г. Это значит:

• Масса 4 монет > 20 г
• Масса 4 монет < 30 г

Разделим все части неравенства на 4, чтобы найти массу одной монеты:

• Масса 1 монеты > \( \frac{20}{4} = 5 \) г
• Масса 1 монеты < \( \frac{30}{4} = 7.5 \) г

Таким образом, масса одной монеты находится в диапазоне от 5 г до 7.5 г. Среднее значение массы монеты здесь можно принять как \( \frac{5 + 7.5}{2} = 6.25 \) г. Погрешность измерения составит \( \frac{7.5 - 5}{2} = 1.25 \) г.

Эксперимент 2: 15 монет против гирь 90 г и 100 г

Здесь 15 монет тяжелее 90 г, но легче 100 г:

• Масса 15 монет > 90 г
• Масса 15 монет < 100 г

Разделим на 15:

• Масса 1 монеты > \( \frac{90}{15} = 6 \) г
• Масса 1 монеты < \( \frac{100}{15} \approx 6.67 \) г

Масса одной монеты находится в диапазоне от 6 г до примерно 6.67 г. Среднее значение: \( \frac{6 + 6.67}{2} \approx 6.335 \) г. Погрешность: \( \frac{6.67 - 6}{2} \approx 0.335 \) г.

Эксперимент 3: 35 монет против гирь 220 г и 230 г

35 монет тяжелее 220 г, но легче 230 г:

• Масса 35 монет > 220 г
• Масса 35 монет < 230 г

Разделим на 35:

• Масса 1 монеты > \( \frac{220}{35} \approx 6.29 \) г
• Масса 1 монеты < \( \frac{230}{35} \approx 6.57 \) г

Масса одной монеты находится в диапазоне от примерно 6.29 г до 6.57 г. Среднее значение: \( \frac{6.29 + 6.57}{2} \approx 6.43 \) г. Погрешность: \( \frac{6.57 - 6.29}{2} \approx 0.14 \) г.

Ответы на вопросы:

1) По результатам каждого измерения определите массу монетки и оцените погрешность определения массы монетки.

• Эксперимент 1: Масса монетки ≈ 6.25 г, погрешность ≈ 1.25 г.
• Эксперимент 2: Масса монетки ≈ 6.335 г, погрешность ≈ 0.335 г.
• Эксперимент 3: Масса монетки ≈ 6.43 г, погрешность ≈ 0.14 г.

2) В каком из трёх экспериментов точность определения массы монеты будет наибольшей?

Наибольшая точность достигается там, где погрешность измерения наименьшая. Это эксперимент 3, где погрешность составляет около 0.14 г.

3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу монетки с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно.

Для расчёта объёма будем использовать данные из эксперимента 3, так как он наиболее точный. Мы знаем, что:

• Масса монетки (m) ≈ 6.43 г
• Плотность монетки (ρ) = 6.8 г/см³

Формула для плотности: \( \rho = \frac{m}{V} \). Отсюда объём (V) можно найти как:

\[ V = \frac{m}{\rho} \]

Подставляем значения:

\[ V = \frac{6.43 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см³}} \approx 0.946 \text{ см³} \]

Теперь оценим погрешность объёма. Мы знаем, что погрешность массы составляет \( \Delta m \approx 0.14 \) г. Погрешность плотности равна нулю, так как она дана точно.

Чтобы оценить погрешность объёма \( \Delta V \), мы можем использовать относительную погрешность массы:

Относительная погрешность массы = \( \frac{\Delta m}{m} = \frac{0.14 \text{ г}}{6.43 \text{ г}} \approx 0.0218 \)

Так как плотность дана точно, относительная погрешность объёма будет равна относительной погрешности массы:

Относительная погрешность объёма ≈ 0.0218

Теперь найдём абсолютную погрешность объёма:

\[ \Delta V = V \times (Относительная\_погрешность\_объёма) \]

\[ \Delta V \approx 0.946 \text{ см³} \times 0.0218 \approx 0.0206 \text{ см³} \]

Округлим погрешность до одной значимой цифры: \( \Delta V \approx 0.02 \) см³.

Ответ: Объем одной монетки примерно 0.95 см³, погрешность объёма около 0.02 см³.