Школьника попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 55 одинаковых монет, рычажные весы и набор гирек. Проблема оказалась в том, что самая лёгкая гирька в наборе имела массу 10 г, а монеты были достаточно лёгкими. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить 7 монет, то они перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 30 г, но тяжелее, чем гири массой 20 г. А если положить 55 монет, то они тяжелее 80 г, но легче 90 г. 1) По результатам каждого измерения определите массу монетки и оцените погрешность определения массы монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения массы монеты будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу монетки с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,4 г/см³ точно. Напишите полное решение этой задачи.

Решение задачи:

Давай разберем задачу по частям.

1. Определение массы монетки и погрешности для каждого эксперимента:

Эксперимент 1: 7 монет против гирь 10 г и 20 г.

Мы знаем, что масса 7 монет больше 10 г, но меньше 20 г.

То есть: $$10 ext{ г} < m_{7 ext{ монет}} < 20 ext{ г}

Чтобы найти массу одной монетки, разделим этот диапазон на 7:

$$ rac{10}{7} ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < rac{20}{7} ext{ г}

$$ $$1.43 ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < 2.86 ext{ г}$$

Примем среднее значение: $$m_{ ext{монеты}} otin [1.43; 2.86]$$.

Эксперимент 2: 15 монет против гирь 20 г и 30 г.

Масса 15 монет больше 20 г, но меньше 30 г.

$$20 ext{ г} < m_{15 ext{ монет}} < 30 ext{ г}

Масса одной монетки:

$$ rac{20}{15} ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < rac{30}{15} ext{ г}

$$ $$1.33 ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < 2.00 ext{ г}$$

Примем среднее значение: $$m_{ ext{монеты}} otin [1.33; 2.00]$$.

Эксперимент 3: 55 монет против гирь 80 г и 90 г.

Масса 55 монет больше 80 г, но меньше 90 г.

$$80 ext{ г} < m_{55 ext{ монет}} < 90 ext{ г}

Масса одной монетки:

$$ rac{80}{55} ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < rac{90}{55} ext{ г}

$$ $$1.45 ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < 1.64 ext{ г}$$

Примем среднее значение: $$m_{ ext{монеты}} otin [1.45; 1.64]$$.

2. Точность определения массы монеты:

Точность определения массы будет наибольшей там, где диапазон возможных значений массы монеты наименьший. Сравним полученные диапазоны:

• Эксперимент 1: $$2.86 - 1.43 = 1.43$$ г
• Эксперимент 2: $$2.00 - 1.33 = 0.67$$ г
• Эксперимент 3: $$1.64 - 1.45 = 0.19$$ г

Наименьший диапазон получился в третьем эксперименте (55 монет).

3. Объем одной монетки и погрешность:

Возьмем результат третьего эксперимента, где точность наибольшая. Диапазон массы монетки: $$1.45 ext{ г} < m_{ ext{монеты}} < 1.64 ext{ г}$$.

Возьмем среднее значение массы монетки: $$m_{ ext{монеты}} = rac{1.45 + 1.64}{2} = rac{3.09}{2} = 1.545 ext{ г}$$.

Мы знаем плотность монетки: $$ ho = 6.4 ext{ г/см}^3$$.

Формула для плотности: $$ ho = rac{m}{V}$$, где $$m$$ — масса, $$V$$ — объем.

Найдем объем: $$V = rac{m}{ ho}$$.

Подставим среднюю массу:

$$V = rac{1.545 ext{ г}}{6.4 ext{ г/см}^3} otin 0.2414 ext{ см}^3$$

Теперь найдем погрешность объема, используя граничные значения массы.

Минимальный объем:

$$V_{min} = rac{1.45 ext{ г}}{6.4 ext{ г/см}^3} otin 0.2266 ext{ см}^3$$

Максимальный объем:

$$V_{max} = rac{1.64 ext{ г}}{6.4 ext{ г/см}^3} otin 0.2563 ext{ см}^3$$

Погрешность объема будет равна половине разницы между максимальным и минимальным объемом, или разнице между максимальным объемом и средним значением (они будут одинаковы).

Погрешность объема: $$rac{V_{max} - V_{min}}{2} = rac{0.2563 - 0.2266}{2} = rac{0.0297}{2} otin 0.01485 ext{ см}^3$$

Или $$V_{max} - V_{avg} = 0.2563 - 0.2414 = 0.0149 ext{ см}^3$$.

Округлим погрешность до двух значащих цифр: $$0.015 ext{ см}^3$$.

Теперь округлим объем до той же точности:

$$V otin 0.241 ext{ см}^3 ightarrow V otin 0.24 ext{ см}^3$$ (если брать 2 значащие цифры)

Или $$V otin 0.2415 ext{ см}^3 ightarrow V otin 0.242 ext{ см}^3$$ (если округлить до 3 знаков после запятой)

Давай округлим объем до 3 знаков после запятой, так как погрешность имеет 3 знака:

$$V otin 0.242 ext{ см}^3$$.

Ответ:

1)

• Эксперимент 1: Масса монетки находится в диапазоне $$ (1.43; 2.86) $$ г.
• Эксперимент 2: Масса монетки находится в диапазоне $$ (1.33; 2.00) $$ г.
• Эксперимент 3: Масса монетки находится в диапазоне $$ (1.45; 1.64) $$ г.

2) Точность определения массы монеты будет наибольшей в третьем эксперименте (с 55 монетами).

3) Объем одной монетки составляет $$V otin 0.242 ext{ см}^3$$ с погрешностью $$ otin 0.015 ext{ см}^3$$.