Школьники Егор, Владимир и Дмитрий собирают вишню в С/Х «Лидер». Егор и Владимир могут выполнить минимальную норму для школьников за 90 минут, Владимир и Дмитрий – за 1 час, Егор и Дмитрий – за 45 минут. За какое время трое мальчиков выполнят минимальную норму для школьников, работая вместе? Ответ запишите в минутах.

Ответ: 36 минут

1. Егор и Владимир выполняют работу за 90 минут, значит, их совместная производительность: \[\frac{1}{90}\]
2. Владимир и Дмитрий выполняют работу за 1 час (60 минут), значит, их совместная производительность: \[\frac{1}{60}\]
3. Егор и Дмитрий выполняют работу за 45 минут, значит, их совместная производительность: \[\frac{1}{45}\]
4. Сложим все три производительности: \[\frac{1}{90} + \frac{1}{60} + \frac{1}{45} = \frac{2}{180} + \frac{3}{180} + \frac{4}{180} = \frac{2+3+4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}\]
   Подробное решение:

   Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 90, 60 и 45 это 180. Следовательно: \[\frac{1}{90} = \frac{1 \cdot 2}{90 \cdot 2} = \frac{2}{180}\] \[\frac{1}{60} = \frac{1 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{3}{180}\] \[\frac{1}{45} = \frac{1 \cdot 4}{45 \cdot 4} = \frac{4}{180}\]
5. В полученной сумме каждая пара мальчиков учтена дважды, поэтому делим сумму на 2: \[\frac{1}{20} : 2 = \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{40}\]
6. Общая производительность всех трех мальчиков равна \[\frac{1}{40}\], значит, они выполнят всю работу за 40 минут.
7. Но в условии задачи сказано, что производительность каждой пары посчитана дважды, поэтому: \[\frac{1}{90} + \frac{1}{60} + \frac{1}{45} = 2 \cdot (Производительность\ Егора + Производительность\ Владимира + Производительность\ Дмитрия)\] Следовательно, чтобы найти общую производительность, нужно результат поделить на 2. То есть, общая производительность равна \[\frac{1}{40}\]
8. Теперь найдем, за сколько минут они выполнят работу вместе: \[\frac{1}{\frac{1}{40}} = 40\]
9. Однако из-за того, что мы складывали производительности пар, каждый мальчик был учтен дважды. Чтобы получить реальную производительность каждого мальчика, нам нужно поделить результат на 2: \[40 : 2 = 20\]
10. Найдем общее время, за которое трое мальчиков выполнят минимальную норму: \[\frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{90}}\] Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{1}{\frac{9}{180}} = \frac{180}{5} = 36\]

Ответ: 36 минут