Шумный мониторинг (2 балла) В Авито есть сервис, который каждый день прогоняет пачку автоматических проверок качества - чекеры. Иногда проверка находит дефект: например, битую разметку, странный ответ модели, подозрительное поведение в данных и т. д. Будем считать, что число найденных дефектов за один прогон – случайная величина с распределением Пуассона с параметром \(\lambda = 1\). Однажды команда решила проверить, насколько стабильно работает процесс. Для этого они независимо запустили проверку \(n\) раз и посчитали среднее число дефектов: \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_{10000}}{10000}\) Если это среднее отклонится от ожидаемого значения больше чем на \(\varepsilon = 0.01\), команда сочтет мониторинг нестабильным и временно остановит эксперименты, чтобы разобраться. Найдите вероятность того, что команда остановит эксперименты. Ответ округлите до двух знаков после запятой. Подсказка: При вычислениях можно использовать значения функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

Question

Вопрос:

Шумный мониторинг (2 балла) В Авито есть сервис, который каждый день прогоняет пачку автоматических проверок качества - чекеры. Иногда проверка находит дефект: например, битую разметку, странный ответ модели, подозрительное поведение в данных и т. д. Будем считать, что число найденных дефектов за один прогон – случайная величина с распределением Пуассона с параметром \(\lambda = 1\). Однажды команда решила проверить, насколько стабильно работает процесс. Для этого они независимо запустили проверку \(n\) раз и посчитали среднее число дефектов: \(\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_{10000}}{10000}\) Если это среднее отклонится от ожидаемого значения больше чем на \(\varepsilon = 0.01\), команда сочтет мониторинг нестабильным и временно остановит эксперименты, чтобы разобраться. Найдите вероятность того, что команда остановит эксперименты. Ответ округлите до двух знаков после запятой. Подсказка: При вычислениях можно использовать значения функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Число найденных дефектов за один прогон подчиняется распределению Пуассона с параметром \(\lambda = 1\). Среднее число дефектов для одного прогона равно \(E[X_i] = \lambda = 1\), а дисперсия \(D[X_i] = \lambda = 1\).

Среднее число дефектов по \(n = 10000\) запускам обозначается \(\bar{X}\). По центральной предельной теореме, при достаточно большом \(n\), распределение \(\bar{X}\) приближается к нормальному со средним \(E[\bar{X}] = E[X_i] = 1\) и дисперсией \(D[\bar{X}] = \frac{D[X_i]}{n} = \frac{1}{10000} = 0.0001\).

Стандартное отклонение \(\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{D[\bar{X}]} = \sqrt{0.0001} = 0.01\).

Команда остановит эксперименты, если среднее значение отклонится от ожидаемого ( \( = 1 \) ) больше чем на \(\varepsilon = 0.01\). Это означает, что \(\bar{X} < 1 - 0.01\) или \(\bar{X} > 1 + 0.01\).

Переведём это условие в стандартизированные значения \(Z = \frac{\bar{X} - E[\bar{X}]}{\sigma_{\bar{X}}}\):

\(\bar{X} < 0.99 \Rightarrow Z < \frac{0.99 - 1}{0.01} = -1\)

\(\bar{X} > 1.01 \Rightarrow Z > \frac{1.01 - 1}{0.01} = 1\)

Вероятность того, что команда остановит эксперименты, равна \(P(|\bar{X} - 1| > 0.01) = P(Z < -1) + P(Z > 1)\).

Используя таблицу значений функции стандартной нормальной величины \(\Phi(z)\):

\(P(Z < -1) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.84 = 0.16\)

\(P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.84 = 0.16\)

Таким образом, искомая вероятность равна \(0.16 + 0.16 = 0.32\).

Ответ: 0.32