СІ. Найдите множество решений неравенства 2x²-9x-5 ≤0. x² - 12x + 35

Логика такая: сначала разложим числитель и знаменатель на множители, затем решим неравенство методом интервалов.

1. Решаем квадратное уравнение числителя: \[ 2x^2 - 9x - 5 = 0 \]
2. Находим дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121 \]
3. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{9 + 11}{4} = 5 \] и \[ x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{1}{2} \]
4. Разлагаем числитель на множители: \[ 2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) = (x - 5)(2x + 1) \]
5. Решаем квадратное уравнение знаменателя: \[ x^2 - 12x + 35 = 0 \]
6. Находим дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4(1)(35) = 144 - 140 = 4 \]
7. Находим корни: \[ x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{12 + 2}{2} = 7 \] и \[ x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{12 - 2}{2} = 5 \]
8. Разлагаем знаменатель на множители: \[ (x - 5)(x - 7) \]
9. Исходное неравенство: \[ \frac{(x - 5)(2x + 1)}{(x - 5)(x - 7)} \le 0 \]
10. Сокращаем (x - 5) с учетом, что x ≠ 5: \[ \frac{2x + 1}{x - 7} \le 0 \]
11. Найдем нули числителя: \[ 2x + 1 = 0 \], откуда \[ x = -\frac{1}{2} \].
12. Найдем нули знаменателя: \[ x - 7 = 0 \], откуда \[ x = 7 \].
13. Отметим точки на числовой прямой: -1/2 (закрашенная) и 7 (выколотая).
14. Определим знаки на каждом интервале:
• \[ x < -\frac{1}{2} \]: числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, дробь положительная.
• \[ -\frac{1}{2} < x < 7 \]: числитель положительный, знаменатель отрицательный, дробь отрицательная.
• \[ x > 7 \]: числитель положительный, знаменатель положительный, дробь положительная.
15. Выбираем интервал, где дробь меньше или равна нулю: \[ -\frac{1}{2} \le x < 7 \].
16. Учитываем, что x ≠ 5.

Ответ: [-1/2; 7), x ≠ 5