15.45. Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина на Х — «число выпадения герба при этих подбрасываниях». Найдите числовые характеристики случайной величины Х: М[X], D [X], σ[X]. 15.46. Найдите дисперсию дискретной случайной величины Х — числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.

Краткое пояснение: В задаче 15.45 нужно найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, а в задаче 15.46 – дисперсию дискретной случайной величины.

15.45.

• Вероятность выпадения герба при одном подбрасывании монеты: \( p = \frac{1}{2} \).
• Число подбрасываний: \( n = 4 \).
• Случайная величина X имеет биномиальное распределение.

Математическое ожидание:

\[ M[X] = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

Дисперсия:

\[ D[X] = n \cdot p \cdot (1 - p) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

Среднее квадратическое отклонение:

\[ \sigma[X] = \sqrt{D[X]} = \sqrt{1} = 1 \]

Ответ:

• \( M[X] = 2 \)
• \( D[X] = 1 \)
• \( \sigma[X] = 1 \)

15.46.

Для дискретной случайной величины X, представляющей собой число очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости, возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого значения равна \( \frac{1}{6} \).

Математическое ожидание:

\[ M[X] = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot P(x_i) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \]

Дисперсия:

\[ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 \]

Сначала найдем \( M[X^2] \):

\[ M[X^2] = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 \cdot P(x_i) = 1^2\cdot\frac{1}{6} + 2^2\cdot\frac{1}{6} + 3^2\cdot\frac{1}{6} + 4^2\cdot\frac{1}{6} + 5^2\cdot\frac{1}{6} + 6^2\cdot\frac{1}{6} = \frac{91}{6} \]

Теперь найдем дисперсию:

\[ D[X] = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.9167 \]

Ответ: \( D[X] = \frac{35}{12} \)