Симметричную монету бросают 50 раз. Во сколько раз вероятность события «решка выпала 48 раз» меньше вероятности события «решка выпала 47 раз»?

Решение:

Вероятность выпадения орла или решки при одном броске симметричной монеты равна \( P(O) = P(R) = 0.5 \).

Вероятность выпадения определённого числа исходов (k) в серии независимых испытаний (n) с вероятностью успеха (p) находится по формуле Бернулли: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В нашем случае \( n=50 \) и \( p=0.5 \).

Вероятность события «решка выпала 48 раз»: \( P(X=48) = C_{50}^{48} \cdot (0.5)^{48} \cdot (0.5)^{50-48} = C_{50}^{48} \cdot (0.5)^{50} \).

Вероятность события «решка выпала 47 раз»: \( P(X=47) = C_{50}^{47} \cdot (0.5)^{47} \cdot (0.5)^{50-47} = C_{50}^{47} \cdot (0.5)^{50} \).

Найдём отношение вероятностей:

\( \frac{P(X=48)}{P(X=47)} = \frac{C_{50}^{48} \cdot (0.5)^{50}}{C_{50}^{47} \cdot (0.5)^{50}} = \frac{C_{50}^{48}}{C_{50}^{47}} \)

Вычислим биномиальные коэффициенты:

\( C_{50}^{48} = \frac{50!}{48!(50-48)!} = \frac{50!}{48!2!} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 25 \times 49 = 1225 \)

\( C_{50}^{47} = \frac{50!}{47!(50-47)!} = \frac{50!}{47!3!} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 50 \times 49 \times 8 = 19600 \)

Теперь найдём отношение:

\( \frac{P(X=48)}{P(X=47)} = \frac{1225}{19600} \)

Упростим дробь:

\( \frac{1225}{19600} = \frac{1225 / 25}{19600 / 25} = \frac{49}{784} \)

\( \frac{49}{784} = \frac{49 / 49}{784 / 49} = \frac{1}{16} \)

Таким образом, вероятность события «решка выпала 48 раз» в \( 16 \) раз меньше вероятности события «решка выпала 47 раз».

Ответ: в 16 раз.