Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз вероятность события «выпад ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 2 орла»?

Привет! Давай разберемся с этой задачей на вероятность.

Что нужно найти:

• Сравнить вероятность выпадения ровно 4 орлов с вероятностью выпадения ровно 2 орлов при 8 бросках монеты.

Основные понятия:

• Биномиальное распределение — это распределение вероятностей для числа «успехов» в последовательности независимых испытаний Бернулли.

Формула для расчета вероятности:

Вероятность того, что событие произойдет k раз в n испытаниях, равна:

\[ P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n-k} \]

где:

• n — общее число испытаний (в нашем случае, 8 бросков монеты).
• k — число наступлений события (количество орлов).
• p — вероятность наступления события в одном испытании (вероятность выпадения орла = 0.5).
• q — вероятность ненаступления события в одном испытании (вероятность выпадения решки = 0.5).
• $$C(n, k)$$ — число сочетаний из n по k, которое рассчитывается как $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

Шаг 1: Рассчитаем вероятность выпадения ровно 4 орлов.

• n = 8
• k = 4
• p = 0.5
• q = 0.5
• $$C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 imes 7 imes 6 imes 5}{4 imes 3 imes 2 imes 1} = 70$$
• $$P(X=4) = 70 \times (0.5)^4 \times (0.5)^{8-4} = 70 \times (0.5)^4 \times (0.5)^4 = 70 \times (0.5)^8$$
• $$(0.5)^8 = 0.00390625$$
• $$P(X=4) = 70 \times 0.00390625 = 0.2734375$$

Шаг 2: Рассчитаем вероятность выпадения ровно 2 орлов.

• n = 8
• k = 2
• p = 0.5
• q = 0.5
• $$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 imes 7}{2 imes 1} = 28$$
• $$P(X=2) = 28 \times (0.5)^2 \times (0.5)^{8-2} = 28 \times (0.5)^2 \times (0.5)^6 = 28 \times (0.5)^8$$
• $$P(X=2) = 28 \times 0.00390625 = 0.109375$$

Шаг 3: Найдем, во сколько раз вероятность выпадения 4 орлов больше вероятности выпадения 2 орлов.

• Разделим $$P(X=4)$$ на $$P(X=2)$$:
• $$\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{70 \times (0.5)^8}{28 \times (0.5)^8}$$
• $$\frac{70}{28} = 2.5$$

Ответ: Вероятность события «выпад ровно 4 орла» в 2.5 раза больше вероятности события «выпадет ровно 2 орла».