Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

Решение:

При бросании симметричной монеты возможны два исхода: орёл (О) или решка (Р). Вероятность выпадения каждого исхода равна 0.5.

При троекратном бросании монеты общее число возможных исходов равно \( 2^3 = 8 \).

Перечислим все возможные исходы:

• ООО
• ООР
• ОРО
• РОО
• ОРР
• РОР
• РРО
• РРР

Нас интересует событие, когда решка выпадает ровно два раза. Таких исходов три:

• ОРР
• РОР
• РРО

Вероятность каждого из этих исходов равна \( 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \).

Чтобы найти вероятность того, что решка выпадет ровно два раза, нужно сложить вероятности благоприятных исходов:

\( P(\text{решка ровно 2 раза}) = P(ОРР) + P(РОР) + P(РРО) = 0.125 + 0.125 + 0.125 = 0.375 \).

Также можно использовать формулу Бернулли:

\( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где:

• \( n \) — количество испытаний (бросков монеты), \( n=3 \).
• \( k \) — количество успехов (выпадение решки), \( k=2 \).
• \( p \) — вероятность успеха (выпадение решки), \( p=0.5 \).
• \( q \) — вероятность неудачи (выпадение орла), \( q=1-p=0.5 \).
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), \( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3 \).

Подставляем значения в формулу:

\( P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2} = 3 \cdot (0.25) \cdot (0.5) = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \).

Ответ: 0.375