Симметричную монету подкинули 7 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 4 раза» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 1 раз»?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить формулу для вероятности наступления определенного количества успехов в серии независимых испытаний (формула Бернулли). В нашем случае, «успех» - это выпадение решки.

Формула Бернулли выглядит так:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

где:

• ( P(k) ) - вероятность ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях.
• ( C_n^k ) - количество сочетаний из ( n ) по ( k ) (биномиальный коэффициент), которое можно рассчитать как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
• ( p ) - вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае, вероятность выпадения решки, которая равна 0.5).
• ( n ) - общее количество испытаний (в нашем случае, 7 подбрасываний монеты).
• ( k ) - количество успехов, которое мы хотим получить.

Сначала найдем вероятность выпадения решки 4 раза:

Для ( k = 4 ) и ( n = 7 ), вероятность ( p = 0.5 ):

$$P(4) = C_7^4 * (0.5)^4 * (0.5)^{(7-4)}$$

Вычислим ( C_7^4 ):

$$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7*6*5}{3*2*1} = 35$$

Теперь вычислим ( P(4) ):

$$P(4) = 35 * (0.5)^4 * (0.5)^3 = 35 * (0.5)^7$$

Теперь найдем вероятность выпадения решки 1 раз:

Для ( k = 1 ) и ( n = 7 ), вероятность ( p = 0.5 ):

$$P(1) = C_7^1 * (0.5)^1 * (0.5)^{(7-1)}$$

Вычислим ( C_7^1 ):

$$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$$

Теперь вычислим ( P(1) ):

$$P(1) = 7 * (0.5)^1 * (0.5)^6 = 7 * (0.5)^7$$

Теперь найдем, во сколько раз ( P(4) ) больше ( P(1) ):

$$\frac{P(4)}{P(1)} = \frac{35 * (0.5)^7}{7 * (0.5)^7} = \frac{35}{7} = 5$$

Ответ: в 5 раз