Simplifique as expressões algébricas: a) \(\left(\frac{d^3 - 8}{d^2 - 4} - \frac{6d}{d + 2}\right) : \left(1 - \frac{4}{d + 2}\right)^2\) b) \(\left(\frac{b^3 + 1}{b^2 - 1} + \frac{3b}{b - 1}\right) \cdot \left(1 - \frac{2b}{b + 1}\right)^2\)

Simplificando Expressões Algébricas

a) Expressão com 'd'

1. Fatoração e Combinação no Primeiro Parêntese:
   • Fatore o numerador e o denominador da primeira fração: \(d^3 - 8 = (d - 2)(d^2 + 2d + 4)\) e \(d^2 - 4 = (d - 2)(d + 2)\).
   • Simplifique a primeira fração: \(\frac{(d - 2)(d^2 + 2d + 4)}{(d - 2)(d + 2)} = \frac{d^2 + 2d + 4}{d + 2}\).
   • Combine as frações dentro do primeiro parêntese com um denominador comum \((d + 2)\):
     \(\frac{d^2 + 2d + 4}{d + 2} - \frac{6d}{d + 2} = \frac{d^2 + 2d + 4 - 6d}{d + 2} = \frac{d^2 - 4d + 4}{d + 2}\).
   • Note que \(d^2 - 4d + 4 = (d - 2)^2\). Então, a expressão no primeiro parêntese é \(\frac{(d - 2)^2}{d + 2}\).
2. Simplificação do Segundo Parêntese:
   • Combine os termos dentro do segundo parêntese: \(1 - \frac{4}{d + 2} = \frac{d + 2 - 4}{d + 2} = \frac{d - 2}{d + 2}\).
   • Eleve ao quadrado: \(\left(\frac{d - 2}{d + 2}\right)^2 = \frac{(d - 2)^2}{(d + 2)^2}\).
3. Divisão das Frações:
   • Dividir é multiplicar pelo inverso: \(\frac{(d - 2)^2}{d + 2} : \frac{(d - 2)^2}{(d + 2)^2} = \frac{(d - 2)^2}{d + 2} \cdot \frac{(d + 2)^2}{(d - 2)^2}\).
   • Simplifique: \(\frac{(d + 2)^2}{d + 2} = d + 2\).

Resultado para a): \(d + 2\)

b) Expressão com 'b'

1. Fatoração e Combinação no Primeiro Parêntese:
   • Fatore o denominador da primeira fração: \(b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)\).
   • Combine as frações dentro do primeiro parêntese com um denominador comum \((b - 1)(b + 1)\):
     \(\frac{b^3 + 1}{(b - 1)(b + 1)} + \frac{3b(b + 1)}{(b - 1)(b + 1)} = \frac{b^3 + 1 + 3b^2 + 3b}{(b - 1)(b + 1)}\).
   • Reorganize o numerador: \(\frac{b^3 + 3b^2 + 3b + 1}{(b - 1)(b + 1)}\).
   • Note que o numerador é um cubo perfeito: \(b^3 + 3b^2 + 3b + 1 = (b + 1)^3\).
   • A expressão no primeiro parêntese é \(\frac{(b + 1)^3}{(b - 1)(b + 1)} = \frac{(b + 1)^2}{b - 1}\).
2. Simplificação do Segundo Parêntese:
   • Combine os termos dentro do segundo parêntese: \(1 - \frac{2b}{b + 1} = \frac{b + 1 - 2b}{b + 1} = \frac{1 - b}{b + 1}\).
   • Eleve ao quadrado: \(\left(\frac{1 - b}{b + 1}\right)^2 = \left(\frac{-(b - 1)}{b + 1}\right)^2 = \frac{(b - 1)^2}{(b + 1)^2}\).
3. Multiplicação das Frações:
   • Multiplique as expressões simplificadas: \(\frac{(b + 1)^2}{b - 1} \cdot \frac{(b - 1)^2}{(b + 1)^2}\).
   • Simplifique: \(\frac{(b - 1)^2}{b - 1} = b - 1\).

Resultado para b): \(b - 1\)