Simplify the expression $$(4a-2)(4a+2) - (4a+1)$$ and find its value when $$a = \frac{1}{8}$$.

Решение:

1. Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) для первого произведения: \( (4a-2)(4a+2) = (4a)^2 - 2^2 = 16a^2 - 4 \).
2. Раскроем скобки для второго произведения, меняя знаки: \( -(4a+1) = -4a - 1 \).
3. Объединим результаты: \( 16a^2 - 4 - 4a - 1 \).
4. Приведём подобные слагаемые: \( 16a^2 - 4a - 5 \).
5. Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{8} \) в упрощённое выражение: \( 16 \left( \frac{1}{8} \right)^2 - 4 \left( \frac{1}{8} \right) - 5 \).
6. Вычислим: \( 16 \left( \frac{1}{64} \right) - \frac{4}{8} - 5 = \frac{16}{64} - \frac{1}{2} - 5 \).
7. Упростим дробь: \( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 \).
8. Приведём к общему знаменателю \( 4 \): \( \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{20}{4} \).
9. Выполним вычитание: \( \frac{1 - 2 - 20}{4} = \frac{-21}{4} \).
10. Представим в виде смешанного числа: \( -5 \frac{1}{4} \).

Ответ: $$16a^2 - 4a - 5$$; при $$a = \frac{1}{8}$$ значение выражения равно $$-5 \frac{1}{4}$$.