Simplify the expression: (5^12)^3 : 5^37 * (1/5)^-3

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
2. Деление степеней: \( a^m : a^n = a^{m - n} \).
3. Возведение дроби в степень: \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

Применим эти правила к нашему выражению:

\( (5^{12})^3 : 5^{37} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} \)

Сначала раскроем первую скобку:

\( (5^{12})^3 = 5^{12 \cdot 3} = 5^{36} \)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\( 5^{36} : 5^{37} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} \)

Выполним деление:

\( 5^{36} : 5^{37} = 5^{36 - 37} = 5^{-1} \)

Теперь упростим последнюю часть выражения:

\( \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = \left(5^{-1}\right)^{-3} = 5^{(-1) \cdot (-3)} = 5^3 \)

Теперь объединим все части:

\( 5^{-1} \cdot 5^3 \)

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:

\( 5^{-1} \cdot 5^3 = 5^{-1 + 3} = 5^2 \)

Вычислим окончательный результат:

\( 5^2 = 25 \)

Ответ: 25.