Simplify the expression: (5^3)^5 * 3^16 / (9 * 225^7)

Решение:

Нам нужно упростить выражение \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \).

1. Упростим числитель: \( (5^3)^5 = 5^{3 \cdot 5} = 5^{15} \).
2. Представим знаменатель в виде степеней простых чисел. \( 9 = 3^2 \) и \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
3. Подставим это в знаменатель: \( 9 \cdot 225^7 = 3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7 = 3^2 \cdot (3^{2 \cdot 7} \cdot 5^{2 \cdot 7}) = 3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14} = 3^{2+14} \cdot 5^{14} = 3^{16} \cdot 5^{14} \).
4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение: \[ \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \]
5. Сократим общие множители: \( \frac{3^{16}}{3^{16}} = 1 \) и \( \frac{5^{15}}{5^{14}} = 5^{15-14} = 5^1 = 5 \).
6. Таким образом, всё выражение упрощается до \( 5 \cdot 1 = 5 \).

Ответ: 5