Simplify the expression: \( 51 \cdot 12^{n+2} \cdot 12^{n+1} \) divided by \( 3^{2n+6} \cdot 3^{n+1} \)

Решение:

Запишем выражение, используя правила степеней:

Числитель: \( 51 \cdot 12^{n+2} \cdot 12^{n+1} = 51 \cdot 12^{(n+2) + (n+1)} = 51 \cdot 12^{2n+3} \)

Знаменатель: \( 3^{2n+6} \cdot 3^{n+1} = 3^{(2n+6) + (n+1)} = 3^{3n+7} \)

Теперь преобразуем основание степени 12, представив его через простые множители 3 и 4 (или 2): \( 12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2 \).

Числитель: \( 51 \cdot (3 \cdot 2^2)^{2n+3} = 51 \cdot 3^{2n+3} \cdot (2^2)^{2n+3} = 51 \cdot 3^{2n+3} \cdot 2^{2(2n+3)} = 51 \cdot 3^{2n+3} \cdot 2^{4n+6} \).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{51 \cdot 3^{2n+3} \cdot 2^{4n+6}}{3^{3n+7}} \)

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 51 \cdot 3^{(2n+3) - (3n+7)} \cdot 2^{4n+6} \)

\( 51 \cdot 3^{2n+3-3n-7} \cdot 2^{4n+6} \)

\( 51 \cdot 3^{-n-4} \cdot 2^{4n+6} \)

Можно также записать отрицательную степень как дробь:

\( 51 \cdot \frac{1}{3^{n+4}} \cdot 2^{4n+6} = \frac{51 \cdot 2^{4n+6}}{3^{n+4}} \)

Ответ: \( \frac{51 \cdot 2^{4n+6}}{3^{n+4}} \).