Simplify the expression: (9 + c)(c - 9)^3

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перепишем выражение, меняя местами члены во второй скобке для удобства. Обратите внимание, что $$(c - 9) = -(9 - c)$$.
   \[ (9 + c)(c - 9)^3 = (9 + c)(-(9 - c))^3 \]
2. Шаг 2: При возведении отрицательного выражения в нечетную степень, знак минус сохраняется.
   \[ (9 + c)(-(9 - c))^3 = -(9 + c)(9 - c)^3 \]
3. Шаг 3: Используем формулу разности квадратов: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$. Здесь $$a=9$$ и $$b=c$$.
   \[ -(9 + c)(9 - c)(9 - c)^2 = -(9^2 - c^2)(9 - c)^2 \]
4. Шаг 4: Вычислим $$9^2$$.
   \[ -(81 - c^2)(9 - c)^2 \]
5. Шаг 5: Раскроем скобки.
   \[ -(81 - c^2)(81 - 18c + c^2) \]
   \[ = -(81 · 81 - 81 · 18c + 81 · c^2 - c^2 · 81 + c^2 · 18c - c^2 · c^2) \]
   \[ = -(6561 - 1458c + 81c^2 - 81c^2 + 18c^3 - c^4) \]
6. Шаг 6: Упростим выражение.
   \[ = -(6561 - 1458c + 18c^3 - c^4) \]
7. Шаг 7: Поменяем знаки внутри скобок.
   \[ -6561 + 1458c - 18c^3 + c^4 \]
8. Шаг 8: Запишем в стандартном виде (по убыванию степеней).
   \[ c^4 - 18c^3 + 1458c - 6561 \]

Ответ: $$c^4 - 18c^3 + 1458c - 6561$$