Simplify the expression: (a^2 + 4a + 4) * (5/(a+2) + 4/(a^2 - 4) - 1/(a-2))

Решение:

Данное выражение представляет собой произведение многочлена и суммы рациональных дробей. Сначала упростим многочлен и найдем общий знаменатель для дробей.

1. Разложим первый множитель на множители: \( a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 \)
2. Приведем дроби внутри скобок к общему знаменателю. Заметим, что \( a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \). Общий знаменатель будет \( (a-2)(a+2) \).
3. Преобразуем выражение в скобках:
   \( \frac{5}{a+2} + \frac{4}{(a-2)(a+2)} - \frac{1}{a-2} \)
   \( = \frac{5(a-2)}{(a+2)(a-2)} + \frac{4}{(a-2)(a+2)} - \frac{1(a+2)}{(a-2)(a+2)} \)
   \( = \frac{5a - 10 + 4 - a - 2}{(a-2)(a+2)} \)
   \( = \frac{4a - 8}{(a-2)(a+2)} \)
   \( = \frac{4(a-2)}{(a-2)(a+2)} \)
4. Сократим дробь: \( \frac{4}{a+2} \) (при условии \( a \neq 2 \) и \( a \neq -2 \)).
5. Теперь умножим первый множитель на упрощенное выражение во второй скобке:
   \( (a+2)^2 \cdot \frac{4}{a+2} \)
   \( = (a+2) \cdot 4 \)
   \( = 4(a+2) \)
6. Раскроем скобки:
   \( 4a + 8 \)

Ответ: 4a + 8.