Simplify the expression and state the condition. $$ \frac{15^x - 3^x \cdot 5^x + 15}{x(-x+2)} > 0 $$

Решение:

Сначала упростим числитель дроби:

\( 15^x - 3^x \cdot 5^x + 15 = (3 \cdot 5)^x - 3^x \cdot 5^x + 15 = 3^x \cdot 5^x - 3^x \cdot 5^x + 15 = 15 \)

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$$ \frac{15}{x(-x+2)} > 0 $$

Для решения этого неравенства рассмотрим знак выражения \( x(-x+2) \). Корни знаменателя:

• \( x = 0 \)
• \( -x+2 = 0 \implies x = 2 \)

Знаменатель \( x(-x+2) \) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз (коэффициент при \( x^2 \) равен -1).

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя на интервалах:

• При \( x < 0 \): \( x \) отрицательное, \( -x+2 \) положительное. Знаменатель \( x(-x+2) \) отрицательный. Дробь \( \frac{15}{\text{отрицательное}} \) отрицательная.
• При \( 0 < x < 2 \): \( x \) положительное, \( -x+2 \) положительное. Знаменатель \( x(-x+2) \) положительный. Дробь \( \frac{15}{\text{положительное}} \) положительная.
• При \( x > 2 \): \( x \) положительное, \( -x+2 \) отрицательное. Знаменатель \( x(-x+2) \) отрицательный. Дробь \( \frac{15}{\text{отрицательное}} \) отрицательная.

Неравенство \( \frac{15}{x(-x+2)} > 0 \) выполняется, когда знаменатель положителен, то есть при \( 0 < x < 2 \).

Условие, что знаменатель не равен нулю, учтено, так как \( x \) не может быть равно 0 и 2.

Ответ: Упрощенное неравенство: \( \frac{15}{x(2-x)} > 0 \). Решение: \( 0 < x < 2 \).