Simplify the expression: (c - (c^3+8)/(2c+c^2)) * (c/(c-2)^2 + 2/(2-c))

Пошаговое решение:

• Разложим числитель первой дроби на множители: \( c^3+8 = (c+2)(c^2-2c+4) \).
• Разложим знаменатель первой дроби на множители: \( 2c+c^2 = c(2+c) \).
• Преобразуем первую дробь: \( c - \frac{(c+2)(c^2-2c+4)}{c(c+2)} = c - \frac{c^2-2c+4}{c} = \frac{c^2 - (c^2-2c+4)}{c} = \frac{c^2 - c^2 + 2c - 4}{c} = \frac{2c-4}{c} \).
• Преобразуем вторую часть выражения. Заметим, что \( 2-c = -(c-2) \), поэтому \( \frac{2}{2-c} = \frac{-2}{c-2} \).
• Приведем дроби во второй части к общему знаменателю \( (c-2)^2 \):
  \( \frac{c}{(c-2)^2} + \frac{-2}{c-2} = \frac{c - 2(c-2)}{(c-2)^2} = \frac{c - 2c + 4}{(c-2)^2} = \frac{-c+4}{(c-2)^2} \).
• Теперь перемножим полученные результаты:
  \( \frac{2c-4}{c} \cdot \frac{-c+4}{(c-2)^2} = \frac{2(c-2)}{c} \cdot \frac{-(c-4)}{(c-2)^2} = \frac{-2(c-4)}{c(c-2)} = \frac{-2c+8}{c^2-2c} \).

Ответ: \( \frac{-2c+8}{c^2-2c} \)