Simplify the expression: \(\frac{1}{3+\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-3}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен произведению знаменателей: \( (3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-3) \).

Изменим порядок слагаемых во втором множителе: \( (3+\sqrt{5})(-3+\sqrt{5}) \). Это разность квадратов: \( (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4 \).

Теперь приведём дроби к общему знаменателю:

• Первая дробь: \( \frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}-3)}{(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-3)} = \frac{\sqrt{5}-3}{-4} \)
• Вторая дробь: \( \frac{1}{\sqrt{5}-3} = \frac{1 \cdot (3+\sqrt{5})}{(\sqrt{5}-3)(3+\sqrt{5})} = \frac{3+\sqrt{5}}{-4} \)

Теперь вычтем вторую дробь из первой:

\[ \frac{\sqrt{5}-3}{-4} - \frac{3+\sqrt{5}}{-4} = \frac{(\sqrt{5}-3) - (3+\sqrt{5})}{-4} = \frac{\sqrt{5}-3-3-\sqrt{5}}{-4} = \frac{-6}{-4} \]\[ \frac{-6}{-4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Альтернативный способ (рационализация каждой дроби):

• Первая дробь:

\[ \frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{3-\sqrt{5}}{3^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{3-\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3-\sqrt{5}}{4} \]

• Вторая дробь:

\[ \frac{1}{\sqrt{5}-3} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} = \frac{\sqrt{5}+3}{(\sqrt{5})^2-3^2} = \frac{\sqrt{5}+3}{5-9} = \frac{\sqrt{5}+3}{-4} = -\frac{\sqrt{5}+3}{4} \]

Теперь вычтем:

\[ \frac{3-\sqrt{5}}{4} - \left(-\frac{\sqrt{5}+3}{4}\right) = \frac{3-\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{5}+3}{4} = \frac{3-\sqrt{5}+\sqrt{5}+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Альтернативный способ (умножение на -1):

Заметим, что \( \sqrt{5}-3 = -(3-\sqrt{5}) \). Тогда выражение можно переписать как:

\[ \frac{1}{3+\sqrt{5}} - \frac{1}{-(3-\sqrt{5})} = \frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}} \]

Теперь приведём к общему знаменателю \( (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \):

\[ \frac{3-\sqrt{5}}{4} + \frac{3+\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Ответ: \( \frac{3}{2} \).