Simplify the expression: \(\frac{10^9}{8^3 \cdot 125^2}\)

Решение:

1. Представим числа в основании степеней в виде простых множителей: \( 10 = 2 \cdot 5 \), \( 8 = 2^3 \), \( 125 = 5^3 \).
2. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{(2 \cdot 5)^9}{(2^3)^3 \cdot (5^3)^2} \]
3. Используем свойства степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{2^9 \cdot 5^9}{2^{3 \cdot 3} \cdot 5^{3 \cdot 2}} = \frac{2^9 \cdot 5^9}{2^9 \cdot 5^6} \]
4. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{9-9} \cdot 5^{9-6} = 2^0 \cdot 5^3 \]
5. Так как \( a^0 = 1 \) для любого \( a \neq 0 \), получаем: \[ 1 \cdot 5^3 = 125 \]

Ответ: 125