Simplify the expression: $$\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}}$$

Решение:

Упростим данное выражение, используя свойства степеней:

1. Представим основание \( 100 \) как произведение \( 25 \cdot 4 \) или \( 5^2 \cdot 2^2 \):
\[ \frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}} = \frac{(5^2 \cdot 2^2)^n}{5^{2n-1} \cdot (2^2)^{n-2}} \]
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( (ab)^n = a^n b^n \):
\[ \frac{5^{2n} \cdot 2^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{2(n-2)}} = \frac{5^{2n} \cdot 2^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}} \]
3. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \):
\[ 5^{2n - (2n-1)} \cdot 2^{2n - (2n-4)} = 5^{2n - 2n + 1} \cdot 2^{2n - 2n + 4} = 5^1 \cdot 2^4 \]
4. Вычислим результат:
\[ 5 \cdot 16 = 80 \]

Ответ: 80