Simplify the expression: \(\frac{2^{-6} \cdot 4^{-3}}{8^{-7}}\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Приведем все основания к одному основанию, например, к 2.

1. Представим 4 как \( 2^2 \) и 8 как \( 2^3 \).
2. Подставим эти значения в выражение: \[ \frac{2^{-6} \cdot (2^2)^{-3}}{(2^3)^{-7}} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{2^{-6} \cdot 2^{-6}}{2^{-21}} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \frac{2^{-6 + (-6)}}{2^{-21}} = \frac{2^{-12}}{2^{-21}} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{-12 - (-21)} = 2^{-12 + 21} = 2^9 \]
6. Вычислим значение \( 2^9 \): \( 2^9 = 512 \).

Ответ: 512.