Simplify the expression: \(\frac{2a+2b}{b}\left(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\right)\)

Решение:

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \( \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{(a+b) - (a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2} \)
2. Теперь подставим это в исходное выражение: \( \frac{2a+2b}{b} \cdot \frac{2b}{a^2-b^2} \)
3. Сократим \( b \) и удвоим числитель: \( \frac{2(a+b)}{1} \cdot \frac{2}{a^2-b^2} = \frac{4(a+b)}{a^2-b^2} \)
4. Разложим знаменатель \( a^2-b^2 \) как разность квадратов \( (a-b)(a+b) \): \( \frac{4(a+b)}{(a-b)(a+b)} \)
5. Сократим \( (a+b) \) и получим окончательный ответ: \( \frac{4}{a-b} \)

Ответ: \( \frac{4}{a-b} \).