Simplify the expression: $$\frac{36^2 \cdot 2^{n+1} \cdot 3^{2n}}{2^n \cdot 9^n}$$

Решение:

Упростим данное выражение, используя свойства степеней.

1. Преобразуем числа в множители с одинаковыми основаниями: \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \) и \( 9 = 3^2 \).
2. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{(2^2 \cdot 3^2)^2 \cdot 2^{n+1} \cdot 3^{2n}}{2^n \cdot (3^2)^n} \]
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \): \[ \frac{2^{2 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 2} \cdot 2^{n+1} \cdot 3^{2n}}{2^n \cdot 3^{2 \cdot n}} = \frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 2^{n+1} \cdot 3^{2n}}{2^n \cdot 3^{2n}} \]
4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ \frac{2^{4 + (n+1)} \cdot 3^{4 + 2n}}{2^n \cdot 3^{2n}} = \frac{2^{n+5} \cdot 3^{2n+4}}{2^n \cdot 3^{2n}} \]
5. Применим свойство деления степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{(n+5) - n} \cdot 3^{(2n+4) - 2n} = 2^5 \cdot 3^4 \]
6. Вычислим значения степеней: \( 2^5 = 32 \) и \( 3^4 = 81 \).
7. Перемножим полученные значения: \( 32 \cdot 81 \).

Ответ: 2592.