Simplify the expression: \(\frac{36}{4+\sqrt{7}}+4\sqrt{7}\)

Решение:

• Для начала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение (4-\sqrt{7}):
• \[ \frac{36}{4+\sqrt{7}} \cdot \frac{4-\sqrt{7}}{4-\sqrt{7}} = \frac{36(4-\sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{36(4-\sqrt{7})}{16-7} = \frac{36(4-\sqrt{7})}{9} \]
• Сокращаем дробь на 9:
• \[ \frac{36}{9}(4-\sqrt{7}) = 4(4-\sqrt{7}) = 16 - 4\sqrt{7} \]
• Теперь добавим вторую часть выражения:
• \[ (16 - 4\sqrt{7}) + 4\sqrt{7} \]
• Слагаемые \(-4\sqrt{7}\) и \(4\sqrt{7}\) взаимно уничтожаются.
• \[ 16 \]

Ответ: 16