Simplify the expression: \(\frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3}\)

Решение:

Сначала выполним умножение дробей:

\[ \frac{3a^4b^3}{10c^5} \times \frac{4b^4c^2}{27a^7} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^4 \cdot b^3 \cdot b^4 \cdot c^2}{10 \cdot 27 \cdot c^5 \cdot a^7} = \frac{12 a^4 b^7 c^2}{270 a^7 c^5} \]

Сократим коэффициенты и степени переменных:

\( \frac{12}{270} = \frac{2}{45} \) (делим числитель и знаменатель на 6)

\( \frac{a^4}{a^7} = \frac{1}{a^3} \)

\( \frac{c^2}{c^5} = \frac{1}{c^3} \)

Получаем: \( \frac{2 b^7}{45 a^3 c^3} \)

Теперь выполним деление:

\[ \frac{2 b^7}{45 a^3 c^3} : \frac{5b^7}{9a^3c^3} = \frac{2 b^7}{45 a^3 c^3} \times \frac{9a^3c^3}{5b^7} \]

Сократим одинаковые переменные в числителе и знаменателе:

\( b^7 \) и \( b^7 \)

\( a^3 \) и \( a^3 \)

\( c^3 \) и \( c^3 \)

Остается:

\[ \frac{2}{45} \times \frac{9}{5} = \frac{2 \cdot 9}{45 \cdot 5} = \frac{18}{225} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:

\( \frac{18}{225} = \frac{2}{25} \)

Ответ: \( \frac{2}{25} \).