Simplify the expression: \(\frac{4^6 \cdot 16}{8^4}\)

Решение:

Приведём все числа к основанию 2:

• \( 4 = 2^2 \)
• \( 16 = 2^4 \)
• \( 8 = 2^3 \)

Теперь подставим эти значения в выражение:

\[ \frac{4^6 \cdot 16}{8^4} = \frac{(2^2)^6 \cdot 2^4}{(2^3)^4} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ \frac{2^{2 \cdot 6} \cdot 2^4}{2^{3 \cdot 4}} = \frac{2^{12} \cdot 2^4}{2^{12}} \]

Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:

\[ \frac{2^{12+4}}{2^{12}} = \frac{2^{16}}{2^{12}} \]

Теперь используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 2^{16-12} = 2^4 \]

Вычисляем результат:

\[ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \]

Ответ: \( 16 \).