Simplify the expression: \(\frac{5^3 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7}\)

Решение:

Для упрощения выражения преобразуем основания степеней к простым множителям:

1. Представим число 9 как степень числа 3: \( 9 = 3^2 \)
2. Представим число 225 как произведение простых множителей: \( 225 = 25 \cdot 9 = 5^2 \cdot 3^2 \)
3. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (5^2 \cdot 3^2)^7} \]
4. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к знаменателю: \[ \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot 5^{2 \cdot 7} \cdot 3^{2 \cdot 7}} = \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot 5^{14} \cdot 3^{14}} \]
5. Сложим степени с одинаковыми основаниями в знаменателе: \( 3^2 \cdot 3^{14} = 3^{2+14} = 3^{16} \).
6. Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{5^{14} \cdot 3^{16}} \]
7. Сократим одинаковые степени: \( 3^{16} \) в числителе и знаменателе.
8. Применим свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ \frac{5^3}{5^{14}} = 5^{3-14} = 5^{-11} \]
9. Отрицательная степень означает обратную дробь: \( 5^{-11} = \frac{1}{5^{11}} \)

Ответ: \( \frac{1}{5^{11}} \).