Simplify the expression: \(\frac{5^3 \cdot 5^{10}}{9 \cdot 225^7}\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Приведём основание степени \( 225 \) к основанию \( 5 \). \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
2. Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{5^3 \cdot 5^{10}}{9 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} = \frac{5^{3+10}}{3^2 \cdot 3^{2 \cdot 7} \cdot 5^{2 \cdot 7}} = \frac{5^{13}}{3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14}} \]
3. Теперь соберем степени с одинаковыми основаниями: \[ \frac{5^{13}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{13}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \]
4. Сократим степени с основанием \( 5 \): \[ \frac{1}{3^{16} \cdot 5^{14-13}} = \frac{1}{3^{16} \cdot 5^1} = \frac{1}{5 \cdot 3^{16}} \]

Ответ: \( \frac{1}{5 \cdot 3^{16}} \)