Simplify the expression: \(\frac{(5^7 \cdot 3^{16})}{9 \cdot 225^7}\)

Решение:

Для упрощения выражения необходимо привести все основания степеней к простым множителям. Основания 9 и 225 можно представить через степени 3 и 5.

1. Разложим 9: \( 9 = 3^2 \).
2. Разложим 225: \( 225 = 9 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2 \).
3. Подставим разложения в исходное выражение: \[ \frac{5^7 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} \]
4. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к выражению \( (3^2 \cdot 5^2)^7 \): \( (3^2)^7 \cdot (5^2)^7 = 3^{14} \cdot 5^{14} \).
5. Подставим обратно в выражение: \[ \frac{5^7 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14}} \]
6. Сложим степени с одинаковыми основаниями в знаменателе: \( 3^2 \cdot 3^{14} = 3^{2+14} = 3^{16} \) и \( 5^{14} \) остается без изменений.
7. Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{5^7 \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \]
8. Сократим одинаковые степени: \( 3^{16} \) в числителе и знаменателе сокращаются.
9. Остается: \[ \frac{5^7}{5^{14}} \]
10. Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{7-14} = 5^{-7} \).
11. Представим отрицательную степень как дробь: \( 5^{-7} = \frac{1}{5^7} \).

Ответ: \( \frac{1}{5^7} \).