Simplify the expression: (\(\frac{6}{y^2-9} + \frac{1}{3-y}\)) \(\cdot \frac{y^2+6y+9}{5}\)

Решение:

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю. Заметим, что \( y^2 - 9 = (y-3)(y+3) \) и \( 3-y = -(y-3) \). Общий знаменатель: \( (y-3)(y+3) \).
• \( \frac{6}{y^2-9} + \frac{1}{3-y} = \frac{6}{(y-3)(y+3)} + \frac{1}{-(y-3)} = \frac{6}{(y-3)(y+3)} - \frac{1}{y-3} \)
• Приведём ко второму дроби общий знаменатель:
• \( \frac{6}{(y-3)(y+3)} - \frac{1 \cdot (y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{6 - (y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{6 - y - 3}{(y-3)(y+3)} = \frac{3 - y}{(y-3)(y+3)} \)
• Заметим, что \( 3 - y = -(y-3) \). Тогда:
• \( \frac{-(y-3)}{(y-3)(y+3)} = -\frac{1}{y+3} \)
2. Теперь умножим результат на вторую дробь:
• \( -\frac{1}{y+3} \cdot \frac{y^2+6y+9}{5} \)
• Заметим, что \( y^2+6y+9 = (y+3)^2 \).
• \( -\frac{1}{y+3} \cdot \frac{(y+3)^2}{5} = -\frac{1}{y+3} \cdot \frac{(y+3)(y+3)}{5} \)
• Сократим \( y+3 \):
• \( -\frac{1}{1} \cdot \frac{y+3}{5} = -\frac{y+3}{5} \)

Ответ: -\(\frac{y+3}{5}\)