Simplify the expression: \(\frac{a^{21} \cdot a^{-3}}{a^{12}}\), when \(a = 2\).

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Сначала упростим числитель: \( a^{21} \cdot a^{-3} = a^{21 + (-3)} = a^{21-3} = a^{18} \).
2. Теперь разделим полученный результат на знаменатель: \( \frac{a^{18}}{a^{12}} = a^{18-12} = a^6 \).
3. Подставим значение \( a = 2 \) в упрощённое выражение: \( a^6 = 2^6 \).
4. Вычислим степень: \( 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 \).

Ответ: 64