Simplify the expression: \(\frac{m^{-2} - n^{-2}}{m^{-2} + n^{-2}}\)

Решение:

Для упрощения выражения \(\frac{m^{-2} - n^{-2}}{m^{-2} + n^{-2}}\), мы можем представить отрицательные степени как дроби:

\( m^{-2} = \frac{1}{m^2} \)

\( n^{-2} = \frac{1}{n^2} \)

Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}} \]

Теперь приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю:

\[ \frac{\frac{n^2 - m^2}{m^2 n^2}}{\frac{n^2 + m^2}{m^2 n^2}} \]

Теперь мы можем умножить числитель на обратную дробь знаменателя:

\[ \frac{n^2 - m^2}{m^2 n^2} \cdot \frac{m^2 n^2}{n^2 + m^2} \]

Сокращаем \( m^2 n^2 \):

\[ \frac{n^2 - m^2}{n^2 + m^2} \]

Можно также записать числитель как разность квадратов: \( n^2 - m^2 = (n - m)(n + m) \).

\[ \frac{(n - m)(n + m)}{n^2 + m^2} \]

Ответ: \(\frac{n^2 - m^2}{n^2 + m^2}\) или \(\frac{(n - m)(n + m)}{n^2 + m^2}\).