Simplify the expression: $$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{12}}$$

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, приведем все корни к одному показателю степени. Наименьший общий показатель для 2 и 4 равен 4.

1. Представим \( \sqrt{2} \) как корень четвертой степени: \( \sqrt{2} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt[4]{4} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{12}} \).
3. Используя свойство корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \), объединим корни: \[ \sqrt[4]{\frac{4 \cdot 48}{12}} \]
4. Выполним действия в числителе и знаменателе: \( \frac{4 \cdot 48}{12} = \frac{192}{12} = 16 \).
5. Теперь выражение стало: \( \sqrt[4]{16} \).
6. Извлечем корень четвертой степени из 16: \( \sqrt[4]{16} = 2 \), так как \( 2^4 = 16 \).

Ответ: 2