Simplify the expression: \(\frac{\sqrt{38} \cdot \sqrt{18}}{\sqrt{2}} =\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами корней: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \).

1. Перемножим числители: \( \sqrt{38} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{38 \cdot 18} = \sqrt{684} \)
2. Теперь разделим полученный корень на корень в знаменателе: \( \frac{\sqrt{684}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{684}{2}} = \sqrt{342} \)
3. Разложим число 342 на простые множители, чтобы упростить корень: \( 342 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19 = 2 \cdot 9 \cdot 19 \).
4. Вынесем множитель из-под корня: \( \sqrt{342} = \sqrt{9 \cdot 38} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{38} = 3\sqrt{38} \)

Ответ: \( 3\sqrt{38} \)