Simplify the expression: \(\frac{\sqrt[5]{10} \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{5}}\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

1. Объединим числитель под общим корнем пятой степени: \( \sqrt[5]{10} \cdot \sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{10 \cdot 16} = \sqrt[5]{160} \).
2. Теперь разделим полученный корень на знаменатель: \( \frac{\sqrt[5]{160}}{\sqrt[5]{5}} = \sqrt[5]{\frac{160}{5}} \).
3. Выполним деление числа под корнем: \( \frac{160}{5} = 32 \).
4. Получаем: \( \sqrt[5]{32} \).
5. Извлечём корень пятой степени из 32. Так как \( 2^5 = 32 \), то \( \sqrt[5]{32} = 2 \).

Ответ: 2