Simplify the expression: $$\frac{\sqrt{x} + 11}{x - 121}$$

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, мы можем заметить, что знаменатель \( x - 121 \) является разностью квадратов. Мы можем переписать \( 121 \) как \( 11^2 \).

Таким образом, \( x - 121 = x - 11^2 = (\sqrt{x})^2 - 11^2 \).

Используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = \sqrt{x} \) и \( b = 11 \), мы получаем:

\( x - 121 = (\sqrt{x} - 11)(\sqrt{x} + 11) \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( \frac{\sqrt{x} + 11}{(\sqrt{x} - 11)(\sqrt{x} + 11)} \).

Мы можем сократить \( (\sqrt{x} + 11) \) из числителя и знаменателя, при условии, что \( \sqrt{x} + 11 \neq 0 \). Так как \( \sqrt{x} \) всегда неотрицателен, \( \sqrt{x} + 11 \) никогда не будет равен нулю.

Таким образом, упрощенное выражение:

\( \frac{1}{\sqrt{x} - 11} \).

Также, исходное выражение имеет ограничения: \( x \ge 0 \) (из-за \( \sqrt{x} \)) и \( x - 121 \neq 0 \), что означает \( x \neq 121 \). Эти же ограничения применимы и к упрощенному выражению.

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{x} - 11}$$