Simplify the expression: $$\frac{x^2+1}{xy-y^2} + \frac{y^2+1}{y^2-xy}$$

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби является противоположным знаменателю первой дроби, то есть \( y^2 - xy = -(xy - y^2) \).

Изменим знак перед второй дробью и поменяем местами члены в её знаменателе:

\[ \frac{x^2+1}{xy-y^2} + \frac{y^2+1}{y^2-xy} = \frac{x^2+1}{xy-y^2} - \frac{y^2+1}{xy-y^2} \]

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

\[ \frac{(x^2+1) - (y^2+1)}{xy-y^2} = \frac{x^2+1-y^2-1}{xy-y^2} = \frac{x^2-y^2}{xy-y^2} \]

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \) (разность квадратов).

Знаменатель: \( xy - y^2 = y(x-y) \) (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{(x-y)(x+y)}{y(x-y)} \]

Сократим общий множитель \( (x-y) \), предполагая, что \( x \neq y \):

\[ \frac{x+y}{y} \]

Можно представить результат в виде:

\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x}{y} + 1 \]

Ответ: \( \frac{x+y}{y} \) или \( \frac{x}{y} + 1 \)