Simplify the expression: \(\sqrt{2}\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x\)

Решение:

Используем тригонометрическое тождество \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos \alpha\).

Подставим \(\alpha = x\):

\(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x\)

Теперь возведём обе части в квадрат:

\(\left(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\right)^2 = \left(-\cos x\right)^2\)

\(\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \cos^2 x\)

Теперь умножим обе части на \(\sqrt{2}\):

\(\sqrt{2} \sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{2} \cos^2 x\)

Сравнивая полученное выражение с исходным \(\sqrt{2}\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x\), мы видим, что равенство верно только в том случае, если \(\sqrt{2}\cos^2 x = -\cos x\).

Это означает, что \(\cos x\) должен быть отрицательным или нулевым, а \(\cos^2 x\) должен быть равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\), что невозможно для действительных \(x\), так как \(\cos^2 x\) всегда неотрицателен.

Однако, если исходное задание подразумевает проверку тождества, то оно неверно. Если же требуется упростить левую часть, то:

\(\sqrt{2} \sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{2} \left(-\cos x\right)^2 = \sqrt{2} \cos^2 x\)

Таким образом, \(\sqrt{2}\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{2}\cos^2 x\).

Если исходное равенство является условием, то оно выполняется только при выполнении \(\sqrt{2}\cos^2 x = -\cos x\), что приводит к \(\cos x = 0\) или \(\cos x = -1/\sqrt{2}\).

В контексте упрощения выражения, левая часть равна \(\sqrt{2}\cos^2 x\).

Ответ: Левая часть выражения равна \(\sqrt{2}\cos^2 x\). Исходное равенство \(\sqrt{2}\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x\) не является тождеством.