Simplify the expression: \(\sqrt{(3\sqrt{7}-7)^2 + 3\sqrt{2}}\)

Решение:

Рассмотрим выражение под корнем: \( (3\sqrt{7}-7)^2 + 3\sqrt{2} \).

Раскроем квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

В данном случае \( a = 3\sqrt{7} \) и \( b = 7 \).

\( (3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63 \).

\( 2ab = 2 \cdot 3\sqrt{7} \cdot 7 = 42\sqrt{7} \).

\( b^2 = 7^2 = 49 \).

Таким образом, \( (3\sqrt{7}-7)^2 = 63 - 42\sqrt{7} + 49 = 112 - 42\sqrt{7} \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение под корнем:

\( 112 - 42\sqrt{7} + 3\sqrt{2} \).

Выражение под корнем не упрощается дальше, и сам корень не извлекается.

Ответ: \(\sqrt{112 - 42\sqrt{7} + 3\sqrt{2}}\).