Simplify the expression: sqrt(3-sqrt(7)) / sqrt(5-sqrt(7))

Решение:

Для упрощения данного выражения, мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, чтобы избавиться от корня в знаменателе.

1. Умножение на сопряженное выражение:

   Исходное выражение:

   \[ \frac{\sqrt{3-\sqrt{7}}}{\sqrt{5-\sqrt{7}}} \]

   Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{5+\sqrt{7}} \):

   \[ \frac{\sqrt{3-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{5+\sqrt{7}}}{\sqrt{5-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{5+\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{(3-\sqrt{7})(5+\sqrt{7})}}{\sqrt{(5-\sqrt{7})(5+\sqrt{7})}} \]
2. Упрощение числителя:

   Раскрываем скобки под корнем в числителе:

   \[ (3-\sqrt{7})(5+\sqrt{7}) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 5 - \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 15 + 3\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 7 = 8 - 2\sqrt{7} \]
3. Упрощение знаменателя:

   Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

   \[ (5-\sqrt{7})(5+\sqrt{7}) = 5^2 - (\sqrt{7})^2 = 25 - 7 = 18 \]
4. Объединение результатов:

   Подставляем упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

   \[ \frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}}{3\sqrt{2}} \]
5. Дальнейшее упрощение (по желанию, если требуется избавиться от корня в знаменателе):

   Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

   \[ \frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{7}} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(8 - 2\sqrt{7}) \cdot 2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{16 - 4\sqrt{7}}}{6} \]

   Примечание: Корень \( \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} \) можно попытаться упростить, представив \( 8 - 2\sqrt{7} \) как \( (a-b)^2 \). В данном случае \( a=\sqrt{7}, b=1 \), тогда \( (\sqrt{7}-1)^2 = 7 - 2\sqrt{7} + 1 = 8 - 2\sqrt{7} \). Таким образом, \( \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1 \).

   \[ \frac{\sqrt{7}-1}{3\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{7}-1)\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{6} \]

Ответ:

$$rac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{6}$$