Simplify the expression: $$\sqrt{6 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{6 \cdot 7^4}$$.

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, мы можем воспользоваться свойствами квадратных корней, а именно \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{a^2} = a \).

Начнём с первого корня:

\[ \sqrt{6 \cdot 5^2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{5^2} = \sqrt{6} \cdot 5 \]

Теперь второй корень:

\[ \sqrt{6 \cdot 7^4} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{7^4} \]

Чтобы найти \( \sqrt{7^4} \), мы можем представить \( 7^4 \) как \( (7^2)^2 \). Тогда:

\[ \sqrt{7^4} = \sqrt{(7^2)^2} = 7^2 = 49 \]

Таким образом, второй корень равен:

\[ \sqrt{6 \cdot 7^4} = \sqrt{6} \cdot 49 \]

Теперь перемножим упрощённые корни:

\[ (\sqrt{6} \cdot 5) \cdot (\sqrt{6} \cdot 49) \]

Перегруппируем множители:

\[ (\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}) \cdot (5 \cdot 49) \]

Так как \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6 \) и \( 5 \cdot 49 = 245 \), получаем:

\[ 6 \cdot 245 = 1470 \]

Альтернативный способ — сначала перемножить подкоренные выражения:

\[ \sqrt{6 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{6 \cdot 7^4} = \sqrt{(6 \cdot 5^2) \cdot (6 \cdot 7^4)} = \sqrt{6^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4} \]

Теперь извлечём квадратный корень из каждого множителя:

\[ \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^4} = 6 \cdot 5 \cdot 7^2 = 6 \cdot 5 \cdot 49 = 30 \cdot 49 = 1470 \]

Ответ: 1470