Simplify the expression: \(\sqrt{\frac{27 \cdot x^7}{y^8}}\)

Решение:

Для упрощения выражения \(\sqrt{\frac{27 \cdot x^7}{y^8}}\), выделим полные квадраты из числителя и знаменателя.

1. Разложим число 27 на множители: \( 27 = 9 \cdot 3 \).
2. Перепишем выражение: \[ \sqrt{\frac{9 \cdot 3 \cdot x^7}{y^8}} \]
3. Извлечём квадратный корень из множителей, которые являются полными квадратами: \( \sqrt{9} = 3 \) и \( \sqrt{y^8} = y^4 \).
4. Выражение с \( x^7 \) можно переписать как \( x^6 \cdot x \), тогда \( \sqrt{x^6} = x^3 \).
5. Подставим извлечённые корни в выражение: \[ \frac{3 \cdot x^3 \cdot \sqrt{3x}}{y^4} \]

Таким образом, упрощённое выражение имеет вид:

\( \frac{3x^3\sqrt{3x}}{y^4} \)

Ответ: \( \frac{3x^3\sqrt{3x}}{y^4} \)