Simplify the expression: \(\sqrt{\frac{4-8\sqrt{5}}{4- \sqrt{5}}}\)

Дано:

• \[ \sqrt{\frac{4-8\sqrt{5}}{4- \sqrt{5}}} \]

Решение:

1. Умножим числитель и знаменатель под корнем на сопряженное выражение к знаменателю:\[ \frac{4-8\sqrt{5}}{4- \sqrt{5}} \times \frac{4+ \sqrt{5}}{4+ \sqrt{5}} = \frac{(4-8\sqrt{5})(4+ \sqrt{5})}{4^2 - (\sqrt{5})^2} \]
2. Раскроем скобки в числителе:\[ \frac{16 + 4\sqrt{5} - 32\sqrt{5} - 8(5)}{16 - 5} = \frac{16 - 28\sqrt{5} - 40}{11} \]
3. Упростим числитель:\[ \frac{-24 - 28\sqrt{5}}{11} \]
4. Извлечем корень:\[ \sqrt{\frac{-24 - 28\sqrt{5}}{11}} \]

Ответ: Выражение содержит отрицательное число под корнем, что приводит к комплексному числу. В рамках действительных чисел дальнейшее упрощение невозможно без использования комплексных чисел.