Simplify the expression: \( \sqrt{\left( \sqrt{5} - \sqrt{7} \right)^2} \)

Решение:

Выражение под корнем представляет собой квадрат разности: \( (a - b)^2 \). В данном случае \( a = \sqrt{5} \) и \( b = \sqrt{7} \).

Поскольку \( \sqrt{5} < \sqrt{7} \), то \( \sqrt{5} - \sqrt{7} < 0 \).

Из определения квадратного корня следует, что \( \sqrt{x^2} = |x| \).

Применяем это к нашему выражению:

\[ \sqrt{\left( \sqrt{5} - \sqrt{7} \right)^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{7}| \]

Так как \( \sqrt{5} - \sqrt{7} \) — отрицательное число, то модуль равен его противоположному значению:

\[ |\sqrt{5} - \sqrt{7}| = -(\sqrt{5} - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - \sqrt{5} \]

Ответ: \( \sqrt{7} - \sqrt{5} \)