Simplify the following algebraic expressions:

Решение:

Задание состоит из двух частей, обозначенных как \( \text{б)} \) и \( \text{a)} \).

\( \text{б)} \) Упростить выражение: \( \frac{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}{8s^3 - 27t^3} \)

Знаменатель представляет собой разность кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \). В данном случае \( a = 2s \) и \( b = 3t \).

Разложим знаменатель: \( 8s^3 - 27t^3 = (2s)^3 - (3t)^3 = (2s - 3t)((2s)^2 + (2s)(3t) + (3t)^2) = (2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2) \).

Числитель: \( 12s^3 + 18s^2t + 27st^2 \). Попробуем вынести общий множитель \( 3s \) из первых двух членов и \( 27st^2 \) из последнего, но это не даёт очевидного разложения. Перегруппируем числитель, чтобы увидеть возможность разложения по формуле куба суммы или разности, но он не соответствует ни одной из стандартных формул. Однако, если предположить, что это задание на факторизацию, и возможно, есть опечатка или неочевидный множитель.

Рассмотрим числитель: \( 12s^3 + 18s^2t + 27st^2 \). Заметим, что \( 12s^3 \) и \( 27st^2 \) не имеют очевидной связи с \( 4s^2 + 6st + 9t^2 \).

Если предположить, что задача подразумевает разложение числителя на множители, и что есть общий множитель с знаменателем, то необходимо искать такие множители. Однако, стандартными методами факторизации числителя \( 12s^3 + 18s^2t + 27st^2 \) не получается получить \( (2s - 3t) \) или \( (4s^2 + 6st + 9t^2) \).

Перепроверим условие. Возможно, числитель является результатом умножения \( (2s - 3t) \) на что-то другое, или же там другая формула.

Если предположить, что числитель можно упростить, и что он содержит множитель \( (2s - 3t) \) или \( (4s^2 + 6st + 9t^2) \), то дальнейшее упрощение будет возможно.

При отсутствии явной возможности упростить числитель, оставим его в исходном виде.

\( \text{a)} \) Упростить выражение: \( 10xy - 4y^2 \)

В данном выражении можно вынести общий множитель \( 2y \).

\( 10xy - 4y^2 = 2y(5x - 2y) \).

Ответ: б) \( \frac{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}{8s^3 - 27t^3} \) (дальнейшее упрощение без дополнительной информации или предположений невозможно); а) \( 2y(5x - 2y) \).