Simplify the following algebraic fractions: a) \(\frac{4x-1}{18x} + \frac{x+5}{12x}\) b) \(\frac{5a-b}{9b} - \frac{a-3b}{15b}\)

Решение:

а) \(\frac{4x-1}{18x} + \frac{x+5}{12x}\)

1. Найдём общий знаменатель для \(18x\) и \(12x\). Наименьшее общее кратное чисел 18 и 12 равно 36. Общий знаменатель: \(36x\).
2. Приведём дроби к общему знаменателю:
• \(\frac{4x-1}{18x} = \frac{(4x-1) \cdot 2}{18x \cdot 2} = \frac{8x-2}{36x}\)
• \(\frac{x+5}{12x} = \frac{(x+5) \cdot 3}{12x \cdot 3} = \frac{3x+15}{36x}\)
3. Сложим полученные дроби:
\(\frac{8x-2}{36x} + \frac{3x+15}{36x} = \frac{8x-2+3x+15}{36x} = \frac{11x+13}{36x}\)

б) \(\frac{5a-b}{9b} - \frac{a-3b}{15b}\)

1. Найдём общий знаменатель для \(9b\) и \(15b\). Наименьшее общее кратное чисел 9 и 15 равно 45. Общий знаменатель: \(45b\).
2. Приведём дроби к общему знаменателю:
• \(\frac{5a-b}{9b} = \frac{(5a-b) \cdot 5}{9b \cdot 5} = \frac{25a-5b}{45b}\)
• \(\frac{a-3b}{15b} = \frac{(a-3b) \cdot 3}{15b \cdot 3} = \frac{3a-9b}{45b}\)
3. Вычтем вторую дробь из первой:
\(\frac{25a-5b}{45b} - \frac{3a-9b}{45b} = \frac{(25a-5b) - (3a-9b)}{45b} = \frac{25a-5b-3a+9b}{45b} = \frac{22a+4b}{45b}\)

Ответ: а) \(\frac{11x+13}{36x}\); б) \(\frac{22a+4b}{45b}\).