Simplify the following expression: \( \frac{1}{x+3} + \frac{x}{x^2-9} - \frac{2x-3}{x^2-3x} \)

Решение:

1. Приведем знаменатели к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:
   • \( x+3 \)
   • \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \)
   • \( x^2-3x = x(x-3) \)
   Общий знаменатель: \( x(x-3)(x+3) \).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • \( \frac{1}{x+3} = \frac{1 \cdot x(x-3)}{(x+3) \cdot x(x-3)} = \frac{x^2-3x}{x(x-3)(x+3)} \)
   • \( \frac{x}{x^2-9} = \frac{x \cdot x}{(x-3)(x+3) \cdot x} = \frac{x^2}{x(x-3)(x+3)} \)
   • \( \frac{2x-3}{x^2-3x} = \frac{(2x-3) \cdot (x+3)}{x(x-3) \cdot (x+3)} = \frac{2x^2+6x-3x-9}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2+3x-9}{x(x-3)(x+3)} \)
3. Выполним вычитание и сложение числителей:
   • \( \frac{x^2-3x}{x(x-3)(x+3)} + \frac{x^2}{x(x-3)(x+3)} - \frac{2x^2+3x-9}{x(x-3)(x+3)} = \frac{(x^2-3x) + x^2 - (2x^2+3x-9)}{x(x-3)(x+3)} \)
   • \( = \frac{x^2-3x+x^2-2x^2-3x+9}{x(x-3)(x+3)} \)
   • \( = \frac{(x^2+x^2-2x^2) + (-3x-3x) + 9}{x(x-3)(x+3)} \)
   • \( = \frac{0 - 6x + 9}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-6x+9}{x(x-3)(x+3)} \)
4. Упростим выражение, вынеся общий множитель из числителя:
   • \( \frac{-3(2x-3)}{x(x-3)(x+3)} \)

Ответ: \( \frac{-6x+9}{x(x-3)(x+3)} \).